Tầm quan trọng Trực chuẩn

Bản thân các tập hợp trực chuẩn không có tầm quan trọng đặc biệt. Tuy nhiên, chúng có một số tính chất khiến chúng trở thành nền tảng trong việc khám phá các khái niệm như tính chéo hóa được của một số toán tử nhất định trên không gian vectơ

Các tính chất

Các tập hợp trực chuẩn có một số tính chất thú vị, khiến việc thực hiện tính toán với chúng dễ dàng hơn.

  • Định lý. Nếu {e1, e2,...,en} là một bộ các vectơ trực chuẩn thì
∀ a := [ a 1 , ⋯ , a n ] ;   | | a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n | | 2 = | a 1 | 2 + | a 2 | 2 + ⋯ + | a n | 2 {\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ ||a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}||^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}

Sự tồn tại

  • Định lý Gram-Schmidt. Nếu {v1, v2,...,vn} là một bộ các vectơ độc lập tuyến tính thuộc một không gian tích trong V {\displaystyle {\mathcal {V}}} thì tồn tạo một bộ vectơ trực chuẩn {e1, e2,...,en} trong V {\displaystyle {\mathcal {V}}} sao cho span(e1, e2,...,en) = span(v1, v2,...,vn).

Chứng minh cho định lý Gram-Schmidt mang tính xây dựng và có thể xem chi tiết tại bài này. Định lý Gram-Schmidt, cùng với tiên đề chọn, đảm bảo rằng mọi không gian vectơ có một cơ sở trực chuẩn. Đây có lẽ là việc sử dụng quan trọng nhất của sự trực chuẩn, bởi vì điều này cho phép xét các toán tử trên không gian tích trong dựa vào tác động của chúng lên các vectơ cơ sở trực chuẩn. Ta có kết quả là một mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chéo hóa được của một toán tử và cách mà nó tác động lên các vectơ cơ sở trực chuẩn. Liên hệ này được thể hiện bởi định lý spectral.